Curso introductorio · Módulo de Matemáticas · Tema 2
Eje cartesiano, rectas y curvas
La clase en video y sus 18 diapositivas, explicadas desde cero: ubicar puntos, leer gráficas, la ecuación de la recta, la pendiente, los cortes con los ejes, las curvas y los órdenes de reacción.
iLa idea de todo el tema en 30 segundos
Una gráfica es un dibujo de cómo cambia una cosa (y) cuando cambia otra (x). El profesor lo dijo claro: el módulo no busca que seas matemático, sino que con solo mirar la forma de una gráfica sepas qué está pasando. Si es una recta que sube, «a más x, más y». Si es una curva que se aplana, «el sistema se saturó». Todo esto lo vas a usar en Bioquímica, sobre todo con las enzimas.
1El plano cartesiano
Es el «mapa» donde se ubican los puntos. Se forma con dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto.
Eje x · abscisa
horizontal ↔A la derecha del 0, positivos; a la izquierda, negativos.Suele llevar la variable independiente (la que tú controlas: tiempo, temperatura…).Eje y · ordenada
vertical ↕Hacia arriba del 0, positivos; hacia abajo, negativos.Suele llevar la variable dependiente (lo que mides: actividad, costo…).abscisa = acostada (x) · ordenada = parada (y)
iCómo se escribe un punto: (x, y)
Entre paréntesis, primero x y después y, separados por una coma. B (6, 5) significa: camina 6 hacia la derecha y sube 5. A (−5, 3): 5 a la izquierda y 3 hacia arriba.
★Para no confundir el orden
Es como subir a un piso de un edificio: primero caminas por el pasillo (x) y luego subes en el ascensor (y). Y en el alfabeto, la x va antes que la y.
!Decimales con coma: C (4,5; −3,5)
Como en Venezuela el decimal se escribe con coma, la diapositiva pone «C (4,5;−3,5)»: x = 4,5 (entre 4 y 5) e y = −3,5 (entre −3 y −4, por debajo del eje). Para que no se confunda con la coma que separa x de y, entre las dos coordenadas se usa punto y coma.
iCada eje tiene su unidad
Cuando se grafica un fenómeno (por ejemplo, biológico), cada eje lleva una magnitud con su unidad, escrita en una leyenda al final del eje. Ejemplo del profesor: en x, tiempo en minutos; en y, número de moléculas producidas.
2Leer una gráfica: las enzimas
El ejemplo bioquímico de la clase. Las enzimas son catalizadores biológicos (aceleran reacciones) y trabajan mejor en ciertas condiciones.
★Cómo se lee, «por simple inspección»
- Mira qué hay en cada eje: x = lo que cambias (temperatura), y = lo que mides (actividad, en %).
- Sigue la curva de izquierda a derecha: ¿sube, baja, se aplana?
- Busca el punto más alto: ahí la enzima trabaja al máximo. Ese x es el valor óptimo.
¿Para qué sirve? Si vas a diseñar un experimento con esa enzima, lo pones a unos 40 °C y a pH 7–7,5 para que trabaje a su máxima capacidad.
+Dónde lo verás: la esterilización extra
La parte de la curva que cae después del óptimo es porque el calor desnaturaliza (deforma) las proteínas. En el autoclave el instrumental se esteriliza con vapor a 121 °C: muy a la derecha de cualquier óptimo, las proteínas de los microorganismos dejan de funcionar.
3La recta y su pendiente
Una recta es la línea que pasa por dos puntos y sigue igual de inclinada para siempre. Su inclinación se llama pendiente y se escribe con la letra m.
↗Directamente proporcional
Cuando aumenta una, aumenta la otra (más lápices → más costo). La recta sube.
↘Inversamente proporcional
Cuando aumenta una, disminuye la otra. El profesor la dibujó como una recta que baja. extra En sentido estricto, «inversamente proporcional» (x · y = constante) da una curva, no una recta; para una recta que baja basta decir que y disminuye cuando x aumenta.
Los tres tipos de recta según m
| Valor de m (pendiente) | Tipo de recta | Se lee |
|---|---|---|
| m > 0 | Creciente | a más x, más y |
| m < 0 | Decreciente | a más x, menos y |
| m = 0 | Constante (paralela al eje x) | y no cambia: vale siempre lo mismo |
★¿Por qué m = 0 es «constante»?
El ejemplo de la clase: para x = 1, y = 1; para x = 2, y = 1; para x = 3, y = 1; y lo mismo con −1, −2, −3. y vale siempre lo mismo, así que la recta no se inclina: queda paralela al eje x.
4La ecuación de la recta
Hay varias formas de escribirla. Esta es la más común y la que más vas a usar en Bioquímica.
0Función lineal
Si b = 0, el término desaparece: y = mx. La recta pasa por el origen (0, 0). Ej.: los lápices, y = 5x.
bFunción afín
Si b ≠ 0: y = mx + b (o y = mx − b, el signo puede ser menos). La recta corta al eje y fuera del origen.
Ejemplos de funciones lineales decrecientes (diapositiva 8)
!Más empinada no es «mayor pendiente» corregido
En la clase (min 11:30) se dijo que mientras más negativo es el número de la x, «mayor es su pendiente». Lo correcto: mientras más negativo, más empinada es la recta, pero la pendiente es menor, porque −60 es menor que −4. Lo que crece es el tamaño de la pendiente sin el signo (su valor absoluto: 60 > 4).
el signo dice hacia dónde va · el número dice qué tan empinada
5Calcular la pendiente
Se toman dos puntos cualesquiera de la recta, P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), y se divide cuánto sube entre cuánto avanza.
i¿Por qué «cateto opuesto sobre adyacente»?
Entre los dos puntos se forma un triángulo rectángulo. El lado vertical (y2 − y1) es el cateto opuesto al ángulo α de inclinación; el horizontal (x2 − x1) es el adyacente. Opuesto ÷ adyacente es la tangente de α: por eso la pendiente mide la inclinación.
Ejemplo de la diapositiva 11 · pendiente con dos puntos
EnunciadoCalcula la pendiente de la recta que pasa por A (2, 3) y B (4, 4).
| Dato | Valor | De dónde sale |
|---|---|---|
| x1 | 2 | 1.ª coordenada de A |
| y1 | 3 | 2.ª coordenada de A |
| x2 | 4 | 1.ª coordenada de B |
| y2 | 4 | 2.ª coordenada de B |
- Arriba, las y: y2 − y1 = 4 − 3 = 1.
- Abajo, las x en el mismo orden: x2 − x1 = 4 − 2 = 2.
- Divide: m = 4 − 34 − 2 = 12.
✓Compruébalo
Al revés (B como punto 1): 3 − 42 − 4 = −1−2 = ½ ✓. El orden no importa si es el mismo arriba y abajo.
!Error en la diapositiva 11
Escribe m = 4-3/4-2 sin paréntesis. Así, literalmente, sería 4 − ¾ − 2 = 1,25. Hay que escribir (4 − 3)/(4 − 2) o con la raya de fracción.
6Puntos de corte con los ejes
Son los puntos donde la recta «toca» cada eje. El truco es uno solo: en el eje x, y vale 0; en el eje y, x vale 0.
Ejemplo de la clase
Enunciado · diapositiva 10Dada la recta 3x − 4y − 5 = 0, calcula sus puntos de intersección con cada eje.
Corte con el eje x → haz y = 0
Corte con el eje y → haz x = 0
★De paso, la pendiente extra
Despeja y: 4y = 3x − 5 → y = 34x − 54. Entonces m = ¾ (creciente) y b = −5/4, el mismo corte con y que calculamos. ✓
+Dónde lo verás: cinética enzimática
El profesor avisó que esto se usa en el tema de enzimas: la curva de la enzima se convierte en una recta sacando el inverso de cada eje (1/v contra 1/[S], la gráfica de dobles inversos). Sus cortes con los ejes dan las constantes de la enzima:
Pruébalo: mueve m y b y mira qué le pasa a la recta
7Curvas y asíntotas
Aquí no importan tanto los detalles matemáticos: importa reconocer cada forma y saber qué significa.
iParábola: la fórmula de la diapositiva 13
Una función cuadrática es y = ax² + bx + c. Para saber dónde corta al eje x se resuelve ax² + bx + c = 0 con la fórmula general (la «resolvente»):
x = −b ± √(b² − 4ac)2a
El profesor dijo que casi no la vas a usar; donde aparece es al calcular el pH de ácidos que no se ionizan por completo (ácidos débiles).
⌒Hiperbólica = saturación
Al principio, a más x, más y. Pero llega un momento en que el sistema se satura y por más que aumentes x, y ya no sube. Así se comporta una enzima con su sustrato: al final todos sus sitios activos están ocupados.
SSigmoidea = cooperatividad
Los primeros aumentos de x hacen que los siguientes aumentos de y sean más bruscos: las partes «cooperan» y el cambio ocurre casi de golpe. Luego se aplana igual que la hiperbólica.
!Precisión: logaritmo y forma de S
En la clase se dijo que para pasar una curva hiperbólica a sigmoidea basta sacar el logaritmo de los valores de x (por eso la diapositiva pone «log» en el eje x). Es cierto: la misma hipérbola, graficada contra log x, se ve en forma de S. Pero esa S es solo un cambio de escala, no cooperatividad. La sigmoidea de la cooperatividad (la verás en la hemoglobina) tiene forma de S con el eje x normal.
Asíntotas (diapositiva 14)
i¿Qué es una asíntota?
Una recta imaginaria a la que una curva se acerca muchísimo, cada vez más, sin llegar a tocarla. «Sube, sube, sube… casi la toca, pero nunca la toca.»
!Precisión extra
«Nunca la toca» vale para los extremos de la curva (cuando x se va muy lejos). En la zona del medio, una curva sí puede cruzar una asíntota horizontal: se ve en una de las figuras de la propia diapositiva 14.
8Órdenes de las reacciones químicas
Más química que matemáticas. Se grafica la velocidad de reacción (v) contra la concentración del reactivo [A] (los corchetes significan «concentración de»), para una reacción A → B.
| Orden | Ecuación | Qué significa |
|---|---|---|
| Primer orden | v ∝ [A] → v = k · [A] | La velocidad es directamente proporcional a la concentración de A. Para cambiar «∝» (proporcional) por «=» se agrega una constante k. Es una recta que pasa por el origen: una función lineal con m = k. |
| Orden cero | v = k | La velocidad es independiente de la concentración de los reaccionantes. Es una recta con m = 0 (constante). |
| Orden mixto | curva hiperbólica | Al principio (poco sustrato) se comporta como de primer orden; con mucho sustrato, como de orden cero. La zona de transición, donde la curva une las dos rectas, es el orden mixto. |
!Error de símbolos en la diapositiva 15 corregido
La diapositiva escribe V ά A y V = K x A. El símbolo de «proporcional a» es ∝ (no la letra griega ά), y la concentración va entre corchetes: v ∝ [A] y v = k · [A].
★Fíjate: es lo mismo de antes
Primer orden = recta creciente (sección 3). Orden cero = recta con m = 0. Orden mixto = curva hiperbólica que se satura y tiene una asíntota (la velocidad máxima). Es exactamente lo que verás con las enzimas: con poco sustrato van más rápido si les das más, pero cuando todos sus sitios activos están ocupados, la velocidad ya no sube.
En el eje y de la diapositiva 17 aparece v = −d[S]/dt extra: es la forma formal de decir «cuánto baja la concentración del sustrato por unidad de tiempo». No necesitas calcularla.
Resumen en una tabla
Si solo tienes 5 minutos antes del examen, repasa esto.
| Tema | Lo que tienes que saber | Ejemplo |
|---|---|---|
| Ejes | x = abscisa (horizontal, independiente) · y = ordenada (vertical, dependiente) | x: temperatura · y: actividad |
| Punto | (x, y): primero x, después y | B (6, 5) |
| Cuadrantes | 1.º (+, +) · 2.º (−, +) · 3.º (−, −) · 4.º (+, −) | A (−5, 3) está en el 2.º |
| Óptimo | El punto más alto de la curva | Enzima: 40 °C, pH 7–7,5 |
| Ecuación | y = mx + b · b = 0 lineal · b ≠ 0 afín | y = 5x es lineal |
| Pendiente | m = (y2 − y1)/(x2 − x1) · > 0 sube · < 0 baja · = 0 plana | A (2, 3), B (4, 4) → m = ½ |
| Cortes | Eje x: haz y = 0 · eje y: haz x = 0 | 3x − 4y − 5 = 0 → (5/3, 0) y (0, −5/4) |
| Curvas | Parábola: U · hiperbólica: se satura · sigmoidea: S (cooperatividad) | Enzima + sustrato: hiperbólica |
| Asíntota | Recta a la que la curva se acerca cada vez más, sin tocarla en los extremos | Vmáx |
| Órdenes | 1.º: v = k[A] · 0: v = k · mixto: de 1.º a 0 | Enzima saturada: orden 0 |
Practica
Primero las tarjetas: toca cada una para ver la respuesta. Después los ejercicios, con su solución.
¿QUÉ EJE?Abscisatoca para ver
El eje x (horizontal)¿QUÉ EJE?Ordenadatoca para ver
El eje y (vertical)SIGNOS2.º cuadrantetoca para ver
(−, +): x negativa, y positivaSIGNOS4.º cuadrantetoca para ver
(+, −): x positiva, y negativaORDEN(x, y)toca para ver
Primero x (horizontal), después y (vertical)DEFINEValor óptimotoca para ver
El x donde la curva llega a su punto más alto¿QUÉ ES?m en y = mx + btoca para ver
La pendiente (inclinación)¿QUÉ ES?b en y = mx + btoca para ver
Donde la recta corta al eje y: el punto (0, b)FÓRMULAPendientetoca para ver
m = (y2 − y1) / (x2 − x1)TIPOm < 0toca para ver
Recta decreciente (baja)TIPOm = 0toca para ver
Constante: paralela al eje x¿LINEAL O AFÍN?y = 3x − 2toca para ver
Afín (b ≠ 0)CORTECon el eje xtoca para ver
Haz y = 0 y despeja xFORMAHiperbólicatoca para ver
Sube y se aplana: saturaciónFORMASigmoideatoca para ver
Forma de S: cooperatividadDEFINEAsíntotatoca para ver
Recta a la que la curva se acerca cada vez más, sin tocarla en los extremosECUACIÓNPrimer ordentoca para ver
v = k · [A]¿QUÉ PASA?Orden cerotoca para ver
La velocidad no depende de [A]Ejercicios extra
¿Las sabías? 0 de 10· por repasar: 0
1¿En qué cuadrante está el punto (−2, 7)?
2¿En qué cuadrante está el punto (0, −4)?
3Calcula la pendiente de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 8).
4Calcula la pendiente entre (−1, 4) y (2, −2). ¿La recta sube o baja?
5En y = −2x + 6: ¿cuánto valen m y b? ¿Es lineal o afín?
6Calcula los cortes con los ejes de 2x + y − 6 = 0.
7Escribe la ecuación de la recta que pasa por (0, 1) y (2, 5).
8¿Qué tipo de recta es y = 4?
9Una enzima: al agregar sustrato, la velocidad sube cada vez menos hasta que ya no cambia. ¿Qué curva es y por qué?
10Al duplicar [A] la velocidad no cambia. ¿De qué orden es la reacción?
Errores que corregí en esta guía
Para que no te confundas si estudias con las diapositivas o el video y con la guía a la vez. En rojo, los errores; en azul, precisiones.
- Diapositiva 11 · Pendiente con dos puntosPone m = 4-3/4-2 = 1/2 sin paréntesis (literalmente daría 1,25). Correcto: m = (4 − 3)/(4 − 2) = ½.
- Diapositiva 15 · Primer ordenPone V ά A y V = K x A. Correcto: v ∝ [A] y v = k · [A] (∝ = «proporcional a»; los corchetes indican concentración).
- Video, min 11:30 · Rectas decrecientes«Más negativo el número, mayor es su pendiente». Correcto: más empinada, pero la pendiente es menor (−60 < −4); lo que crece es su valor sin signo.
- Video, min 3:45 · Punto C«−3,5, un valor intermedio entre 3 y 4». Correcto: entre −3 y −4.
- Precisión · Video, min 6:45«La recta es la unión entre dos puntos»: eso es un segmento. La recta pasa por dos puntos y se extiende sin fin hacia los dos lados.
- Precisión · Video, min 7:50Una recta que baja indica que y disminuye cuando x aumenta; «inversamente proporcional» en sentido estricto (x · y = constante) da una curva, no una recta.
- Precisión · Diapositiva 13 y min 19:55La hiperbólica graficada contra log x se ve en forma de S, pero esa S es un cambio de escala; la sigmoidea de la cooperatividad es una S con el eje x normal.
- Precisión · Diapositiva 14Una curva se acerca a su asíntota sin tocarla en los extremos, pero en la zona del medio puede cruzar una asíntota horizontal (se ve en una figura de la misma diapositiva).
